Многочлены

Задача 1
Пусть Pn(x) = anxn +...+ a1x + a0 — многочлен с целыми коэффициентами ( n≥ 1, an≠ 0). Может ли быть так, что при x = 0, 1, 2,... все числа Pn(x) — простые?

Задача 2
Докажите, что не существует многочлена (степени больше нуля) с целыми коэффициентами, принимающего при каждом натуральном значении аргумента значение, равное некоторому простому числу.

Задача 3
Докажите, что многочлен 1+x111+x222+x333+x444 делится на многочлен 1+x+x2+x3+x4.

Задача 4
Разложить на целые рациональные множители выражение a10 + a5 + 1.

Задача 5
Найти целое число a, при котором (x - a)(x - 10) + 1 разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух множителей с целыми b и c.

Задача 6
Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом — хоть один нечётный.

Задача 7
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x - a)(x - b)(x - c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.

Задача 8
Докажите, что выражение x5 + 3x4y - 5x3y2 - 15x2y3 + 4xy4 + 12y5 не равно 33 ни при каких целых значениях x и y.

Задача 9
Дано 16 кубов с длинами ребер соответственно 1,2,...,16. Разделите их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны: суммарные объемы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин ребер и количество кубов.

Задача 10
Докажите, что при умножении многочлена (x+1)n-1 на любой многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.
Хостинг от uCoz