Многочлены
Задача 1
Пусть Pn(x)
= anxn +...+ a1x
+ a0 — многочлен с целыми коэффициентами ( n≥ 1, an≠
0). Может ли быть так, что при x = 0, 1, 2,... все числа Pn(x)
— простые?
Задача 2
Докажите, что не существует многочлена (степени больше нуля) с целыми
коэффициентами, принимающего при каждом натуральном значении аргумента
значение, равное некоторому простому числу.
Задача 3
Докажите, что многочлен 1+x111+x222+x333+x444
делится на многочлен 1+x+x2+x3+x4.
Задача 4
Разложить на целые рациональные множители выражение
a10
+ a5 + 1.
Задача 5
Найти целое число a, при котором
(x
- a)(x - 10)
+ 1
разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух
множителей с целыми b и c.
Задача 6
Даны два многочлена от переменной x с
целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых
делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в
другом — хоть один нечётный.
Задача 7
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение
x(x - a)(x - b)(x - c) + 1
разлагалось в произведение двух многочленов с целыми
коэффициентами.
Задача 8
Докажите, что выражение
x5
+ 3x4y - 5x3y2 -
15x2y3 + 4xy4 + 12y5
не равно 33 ни при каких целых значениях x
и y.
Задача 9
Дано 16 кубов с длинами ребер соответственно 1,2,...,16. Разделите их на две
группы так, чтобы в обеих группах были равны: суммарные объемы, суммы площадей
боковых поверхностей, суммы длин ребер и количество кубов.
Задача 10
Докажите, что при умножении многочлена (x+1)n-1 на любой
многочлен, отличный от нуля, получается многочлен, имеющий не менее n отличных от нуля коэффициентов.