Последовательности
1. Докажите, что 1/22
+1/32 +1/42 + … +1/n2 < 1.
2. Чему равно значение выражения 1/2! + 2/3! + ... +
2000/2001! ?
3. Докажите, что 1/2 +1/3 +1/4 + ... + 1/2n >
n/2 при n >
1.
4. Докажите, что в любой арифметической прогрессии, состоящей
из натуральных чисел, найдутся два члена с одинаковой суммой цифр.
5. Каждое из натуральных чисел является членом хотя бы одной
из нескольких (конечного числа) арифметических прогрессий. Докажите, что хотя
бы у одной из этих прогрессий первый член делится на разность.
6. Найдите сумму 6 + 66 + 666 + ... + 666..6, где в записи
последнего числа присутствуют n шестерок.
7. Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма
любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?
8. Имеются 100 бесконечных геометрических прогрессий, каждая
из которых состоит из натуральных чисел. Всегда ли можно указать натуральное
число, которое не содержится ни в одной из этих прогрессий?
9. Может ли сумма 1000 последовательных нечётных чисел быть
седьмой степенью натурального числа?
10. Первый член и разность арифметической прогрессии — целые
числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого
участвует цифра 9.
11. Докажите равенство 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/199 -
1/200 = 1/101 + 1/102 + ... + 1/200.
12. Дана бесконечная периодичная последовательность, с
периодом 100, т.е. a1 = a101, a2
= a102, ... Известно, что a1 ≥ 0, a1
+ a2 ≤ 0, a1 + a2 +
a3 ≥ 0 и, вообще, сумма a1 + a2
+ ... + an неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n.
Доказать, что |a99| ≥ |a100|.
13. Докажите, что при любом натуральном n
(1/n)2
+ (1/n +
1/(n - 1))2 + … (1/n + 1/(n - 1)+ … +1)2 =
= 2n
- (1 + 1/2+ … +1/n).
14. 15 простых натуральных чисел образуют возрастающую
арифметическую прогрессию. Докажите, что разность этой прогрессии больше 30000.
15. Можно ли выбрать некоторые натуральные числа так, чтобы
при любом натуральном значении n хотя бы одно
из чисел n, n
+ 50 было выбрано и хотя бы одно из чисел n, n + 2005 не было выбрано?