Динамические системы

Курс «Динамические системы» (11 семестр).

1. Введение. Модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Теорема Лиувилля об инвариантной мере. Движение заряженной частицы в стационарном электромагнитном поле. Магнитная гидродинамика. Гамильтоновы системы. Отображение Гаусса.
2. Теорема Боголюбова-Крылова. Понятие абстрактной динамической системы. Теорема Пуанкаре о возвращении.
3. Статистическая эргодическая теорема.
4. Максимальная эргодическая теорема. Теорема Биркгофа-Хинчина.
5. Временные и пространственные средние. Эргодичность. Сдвиги на торе. Теорема о всюду плотных траекториях. Теорема Вейля-фон Неймана. Теорема Кронекера – Вейля.
6. Сдвиги  на окружности. Теорема Боля-Серпинского-Вейля. Строгая эргодичность сдвига на иррациональный угол. Распределение первых цифр в десятичной записи чисел .
7. Эргодичность динамических систем с непрерывным временем. Задача Лагранжа о среднем движении перигелия.
8. Перемешивание. Связь с эргодичностью. Лебеговские спектры. Примеры. Слабое перемешивание.
9. Понятие изоморфизма абстрактных динамических систем. Изоморфизм преобразования пекаря и схемы Бернулли B(,). Изоморфизм схем Бернулли B(,,,,)и B(,,,) . Свойства собственных чисел и собственных функций эргодических преобразований. Динамические системы с чисто точечным спектром. Теорема фон Неймана-Халмоша.
10. Энтропийная теория динамических систем.

Литература.

1. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999, 767 с.
2. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории. Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 1999, 134 с.
3. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск, Регулярная и хаотическая динамика, 1999, 282 с.
4. Синай Я.Г. Введение в эргодическую теорию. М.: Фазис, 1996, 128 с.
5. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физ. Мат. Лит., 1995, 201 с.
6. Синай Я.Г., Корнфельд И.П., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980, 283 с.