Задача 1
пример A, B замкнутых, с A+B незамунутым - A = {(x,1/x), x in R, x > 0}, B = {(x,0), x in R}
пункт 2
А - компакт, В - замкнуто
Доказать, что С = А+В - замкнуто
Пусть это не так, и сущт точка с0 : есть последть {cn} -> c0, для любого n cn принадледит С, но с0 не принадлежит С (предельная точка)
Тогда по опред суммы множеств существуют {an} и {bn} : an из A, bn из B, и an+bn=cn.
A - компакт - из an можно выделить сходящуюся подпоследовательность {ak}. Пусть она сходится к a0 из A.
{cn} - сходится, значит, предел {ck} (частичный предел) тоже есть с0. Итак, {ck} - сходится, {ak} - сходится => сходится {bk}, при этом В - замкнутое, соотв. предел b0 принадлежит В. Предел суммы двух сходящихся последовательностей есть сумма двух пределов, значит, с0 = b0 + a0 => c0 принадлежит сумме А и В.
Пункт три.
С компактностью - аналогично.
Берем по любой последовательности из каждого множества - {an} и {bn}, выделяем сходящуюся из {an} - {ak}, рассматриваем